The proofs of Pohlke’s theorem have reached an elegant simplicity formulated in terms of linear and vector algebra [Manfrin 2018] becoming useful tools for modelling and digital transformation of im-ages. Instead, the graphical proofs of the theorem have disappeared in today’s didactic manuals, even though that theorem remains an essential tool of imaginative orthography practiced through drawing. Here, starting from psychological considerations on the demonstrative evidence in visual terms, we propose a new proof of the theorem by projective and graphical way based only on two lemmas: 1) the uniqueness of Steiner’s inellipse for each triangle and 2) the existence of two infinities of plane homological affinities with centre in the detected direction of projection that transform any triangle into an equilateral one. This allows the demonstration to be carried out graphically and elementarily, in double orthogonal projection. \ Le dimostrazioni del teorema di Pohlke hanno raggiunto un’elegante semplicità formulata in termini di algebra lineare e vettoriale [Manfrin 2018] divenendo utili strumenti per la modellazione e la trasfor-mazione digitale delle immagini. Invece le dimostrazioni grafiche del teorema sono scomparse negli odierni manuali didattici, anche se quel teorema resta uno strumento essenziale dell’ortografia imma-ginativa praticata col disegno. Qui, partendo da considerazioni psicologiche sulla evidenza dimostrativa in termini visivi, proponiamo una nuova dimostrazione del teorema per via proiettiva e grafica basata solo su due lemmi: 1) l’unicità dell’inellisse di Steiner per ogni triangolo e 2) l’esistenza di due infinità di affinità omologiche piane con centro nella rilevata direzione di proiezione che trasformano un qualsiasi triangolo in equilatero. Ciò consente di svolgere la dimostrazione graficamente ed elementarmente, in doppia proiezione ortogonale.
Elementary! (Pohlke): observations on the fundamental theorem of axonometry = Elementare! (Pohlke): osservazioni sul teorema fondamentale dell’assonometria
Gay, Fabrizio
2022-01-01
Abstract
The proofs of Pohlke’s theorem have reached an elegant simplicity formulated in terms of linear and vector algebra [Manfrin 2018] becoming useful tools for modelling and digital transformation of im-ages. Instead, the graphical proofs of the theorem have disappeared in today’s didactic manuals, even though that theorem remains an essential tool of imaginative orthography practiced through drawing. Here, starting from psychological considerations on the demonstrative evidence in visual terms, we propose a new proof of the theorem by projective and graphical way based only on two lemmas: 1) the uniqueness of Steiner’s inellipse for each triangle and 2) the existence of two infinities of plane homological affinities with centre in the detected direction of projection that transform any triangle into an equilateral one. This allows the demonstration to be carried out graphically and elementarily, in double orthogonal projection. \ Le dimostrazioni del teorema di Pohlke hanno raggiunto un’elegante semplicità formulata in termini di algebra lineare e vettoriale [Manfrin 2018] divenendo utili strumenti per la modellazione e la trasfor-mazione digitale delle immagini. Invece le dimostrazioni grafiche del teorema sono scomparse negli odierni manuali didattici, anche se quel teorema resta uno strumento essenziale dell’ortografia imma-ginativa praticata col disegno. Qui, partendo da considerazioni psicologiche sulla evidenza dimostrativa in termini visivi, proponiamo una nuova dimostrazione del teorema per via proiettiva e grafica basata solo su due lemmi: 1) l’unicità dell’inellisse di Steiner per ogni triangolo e 2) l’esistenza di due infinità di affinità omologiche piane con centro nella rilevata direzione di proiezione che trasformano un qualsiasi triangolo in equilatero. Ciò consente di svolgere la dimostrazione graficamente ed elementarmente, in doppia proiezione ortogonale.
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